高貴な数とは、連分数v=[a0:a1,a2,・・,an,1,1,1,・・・]によって定義される。

　[a0:a1,a2,・・,an]のk番目[a0:a1,a2,・・,ak]で打ち切ったとき、

近似分数の分子と分母をそれぞれ、Ak, Bkで表すと

　　[a0:a1a2,・・,an]→[a0:a1a2,・・,an+1,1,1,1,・・・]=(τAn-1+An)/(τBn-1+Bn)

のように表現できる。

　[0:3,1,1,1,・・・]

　[0:4,1,1,1,・・・]

を求めてみたいのであるが、それぞれ

　[0:2]=1/2

　[0:3]=1/3

で止まってしまう。

　[0:1,2,1,1,・・・]

　[0:1,1,2,1,・・・]

　[0:1,1,1,2,・・・]

の補数を求めてみることにする。

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　[0:1,2]=1/（1+1/2)＝2/3

　[0:1]=[1:0]

1/1

したがって、

　[0:1,3,1,1,・・・]=(τ+2）/（τ＋3）

補数は[0:1,0,3,1,1,・・・]

=[0:4,1,1,・・・]=1-(τ+2）/（τ＋3）

=1/（τ＋3）

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　[0:1,3]=1/（1+1/3)＝3/4

　[0:1]=[1:0]

1/1

したがって、

　[0:1,4,1,1,・・・]=(τ+3）/（τ＋4）

補数は[0:1,0,4,1,1,・・・]

=[0:5,1,1,・・・]=1-(τ+3）/（τ＋4）

=1/（τ＋4）

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