高貴な数とは、連分数v=[a0:a1,a2,・・,an,1,1,1,・・・]によって定義される。

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　[a0:a1,a2,・・,an]のk番目[a0:a1,a2,・・,ak]で打ち切ったとき、

近似分数の分子と分母をそれぞれ、Ak, Bkで表すと

　　v=(τAn+An-1)/(τBn+Bn-1)

のように表現できる。

たとえば、(81τ+334)/(73τ+301)では

Ak=akAk-1+Ak-2

A-1=1

A0=0

A1=a1A0+A-1=1

A2=a2A1+A0=a2

Bk=akBk-1+Bk-2

B-1=0

B0=1

B1=a1B0+B-1=a1

B2=a2B1+B0=a2a1+1

から導ける。

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Ck=Ak/Bk=(akAk-1+Ak-2)/(akBk-1+Bk-2)

Ck+1=Ak+1/Bk+1=(ak-1Ak+Ak-1)/(ak-1Bk+Bk-1)

Ck+1-Ck=(-1)^k/BkBk+1

81/73-334/301=(-1)^k/73/301

81・301-334・73=−1

10・73-9・81=1

1・9-1・10＝-1

これは334/301が10/9で近似されることを示している。

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　　334/301＝1＋1/（301/33）

　　　　＝1＋１／（9+1/（33/4)）

　　　　＝1＋１／｛9＋1/（8+1/4｝

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　　81/73＝1＋１／（73/8)

　　　　＝1＋１／｛9＋1/8｝

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　　10/9＝1＋１／｛9｝

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(81τ+334)/(73τ+301)は

(81+334/τ)/(73+301/τ)

としたほうが分かりやすい

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