ひもの両端を固定しぶら下げてできる曲線を懸垂線（カテナリー）といいます。

懸垂線はちょっと考えると放物線ではないかと思われがちですが、放物線よりもずっときつく上昇する曲線で、代数曲線ではありません。

懸垂線は双曲線関数

ｙ＝ａ／２（ｅｘｐx/a −ｅｘｐ-x/a ）

によって定義されます。

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　懸垂線の問題を解いたのがベルヌーイであったのですが、変分法によって、懸垂線は与えられた２点を両端とする一定の長さの曲線をｘ軸を軸として回転させたときにできる曲面の表面積を最小にする曲線であることが導かれます。

なお、体積が最大になる曲線は楕円関数になります。

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【補】双曲線関数

　オイラーの公式ｅｘｐix＝ｃｏｓｘ＋ｉ・ｓｉｎｘより

ｓｉｎｘ＝（ｅｘｐix−ｅｘｐ-ix）／２，

ｃｏｓｘ＝（ｅｘｐix＋ｅｘｐ-ix）／２が導かれますが、この右辺からｉを取り去って

ｓｉｎｈｘ＝（ｅｘｐx −ｅｘｐ-x）／２，

ｃｏｓｈｘ＝（ｅｘｐx＋ｅｘｐ-x）／２

と定義される関数がそれぞれ双曲正弦関数、双曲余弦関数です。

　すなわち、双曲余弦関数が懸垂線で、三角関数との関係は、

ｓｉｎｈｉｘ＝ｉｓｉｎｘ，ｃｏｓｈｉｘ＝ｃｏｓｘ

になっています。　双曲線関数は、当然ながら三角関数とよく似た性質があり、ｓｉｎｈｘは奇関数、ｃｏｓｈｘは偶関数で、

ｃｏｓ^2ｘ＋ｓｉｎ^2 ｘ＝１に対応して

ｃｏｓｈ^2ｘ−ｓｉｎｈ^2ｘ＝１が成り立ちます。

この式が双曲線の標準形：

ｘ^2／ａ^2 −ｙ^2／ｂ^2＝１

に似ていることから、双曲線関数という名前の由縁になっています。ちなみに三角関数のことを円関数ともいいます。

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