[１]２点A,Bを結ぶ線分を直線の周りに開店してできる面の面積が最小になるもの

[２]なめらかな線に沿って初速度０で滑り落ちるとき、最も短い時間で落ちる線

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[１]は

　　∫2πy(1+f'(x))^1/2dx

を最小にするy=f(x)を求めることに帰着する

[２]は1/2mv^2-mgy=0,ｖ=(2gy)^1/2より

　　∫2πy(1+f'(x))^1/2/(2gf(x))^1/2dx

を最小にするy=f(x)を求めることに帰着する

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いずれも

　　f(y)/(1+y'^2)^1/2=c

となり

　　∫cdy/(1+ｆ(y)^2)-c^2)^1/2=±x+a

から極値曲線が求められることになる

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