ヤコブ・ベルニーイは

　ａn＝（１＋１／ｎ）^n

　ｌｉｍ（１＋１／ｎ）^n＝ｅ

　１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！＋・・・＝ｅ

を示した。

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　２＜ｅ＜３は次のようにして示すことができます．

（証）　ｎ！＝１・２・３・・・ｎ＞１・２・２・・・２＝２^(n-1)

より，

　　e=1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･＜1+1+1/2+1/2^2+･･･+1/2^(n-1)＝３

　　２＜ｅは明らかである．

　これより，単調増加数列｛ａn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

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　Σ１／ｎ^2 ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６

が収束することは１／ｎ^2＜１／（ｎ−１）ｎを用いて，次のようにして示すことができます．

（証）ｎ次部分和をＰn とすると，

　　Ｐn ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ

＝１＋（１／１−１／２）＋（１／２−１／３）＋・・・（１／（ｎ−１）−１／ｎ）

＝２−１／ｎ＜２

より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

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