ある数がｋ個の平方数の和として表されるとき，いくつの異なった方法でこれを表すことができるか？

　たとえば，ｎが２４個の平方数の和として表されるとき，何通りの方法で２４個の平方数の和として表すことができるか？　この難しい問題は母関数とモジュラー形式の理論の発見に導いた．

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　ｒk（ｎ）をｋ個の平方数の和としてｎを表す方法の個数とする．ただし，

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，０^2を含め，さらに，ａ^2と（−ａ）^2を異なる方法として数える．また，順序が異なるもの（ａ^2＋ｂ^2とｂ^2＋ａ^2）を区別して数えることにする．

　ｒ2（０）は，０＝０^2＋０^2しかないからｒ2（０）＝１

　ｒ2（１）は，１＝（±１）^2＋０^2

すなわち，１＝１^2＋０^2＝０^2＋１^2＝（−１）^2＋０^2＝０^2＋（−１）^2より，ｒ2（１）＝４

　ｒ4（４）＝２４

　そして，母関数を

　　Ｆk（ｘ）＝ｒk（０）＋ｒk（１）ｘ＋ｒk（２）ｘ^2＋ｒk（３）ｘ^3＋・・・

とする．

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