「四面体の底面を正三角形ＢＣＤとし，頂点をＡとします．ＡＢが１でない辺です．この四面体の側面ＡＣＤ（正三角形）に次の四面体の底面を載せます。二番目の底面は頂点順でＣＤＢが対応します．この繰り返しです．軸方向から見た目はすべての頂点が同一円周上にあるように見えます」

[１]正四面体の1辺を伸縮させて、正三角形面２枚と二等辺三角形面２枚からなる四面体の場合

　１３７．５°→　1.193402

　１３５°　　→　1.114738

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ａ（ｘ，０，ｂ）

　　Ｂ（ｘ，０，−ｂ）

　　Ｃ（−ｘ，１／２，０）

　　Ｄ（−ｘ，−１／２，０）

　　Ｅ（α，β，γ）

ＡＣ^2＝ＡＤ^2＝４ｘ^2＋１／４＋ｂ^2＝１

ＡＢ^2＝４ｂ^2，ＢＣ^2＝ＢＤ^2＝１

ＣＥ^2＝４ｂ^2，ＡＥ^2＝ＤＥ^2＝１

　Ｂから△ＡＣＤに下ろした垂心Ｈ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）を求めなければならない．正三角形を底面としてその高さをＨとすると

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＋（３／４−Ｈ^2）^1/2＝√３／２

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）＋（３／４−Ｈ^2）＋２（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2（３／４−Ｈ^2）^1/2＝３／４

　　（２ｂ^2−Ｈ^2）＋（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2（３／４−Ｈ^2）^1/2＝０

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）（３／４−Ｈ^2）＝Ｈ^4−４ｂ^2Ｈ^2＋４ｂ^4

　　３ｂ^2−４ｂ^2Ｈ^2−３Ｈ^2／４＋Ｈ^4＝Ｈ^4−４ｂ^2Ｈ^2＋４ｂ^4

　　３ｂ^2−３Ｈ^2／４＝４ｂ^4，３ｂ^2−４ｂ^4＝３Ｈ^2／４

　　Ｈ^2＝４ｂ^2−１６ｂ^4／３

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝４ｂ^2／√３

　　（３／４−Ｈ^2）^1/2＝３／４−４ｂ^2＋１６ｂ^4／３

　ＨはＡとＣＤの中点を結んだ直線上でＡから４ｂ^2／√３の距離にある．

ｂ＝１／２のとき，√３／３であるからＯＫ．

　　Ａ（ｘ，０，ｂ）

　　Ｂ（ｘ，０，−ｂ）

　　Ｃ（−ｘ，１／２，０）

　　Ｄ（−ｘ，−１／２，０）

　　Ｍ（−ｘ，０，０）

　　ＡＭ（−２ｘ，０，−ｂ）

Ｍのとき１になるように定めると

　　（Ｘ−ｘ）／（−２ｘ）＝（Ｚ−ｂ）／（−ｂ）＝ｋ

ｋ＝（４ｂ^2／√３）／（√３／２）＝８ｂ^2／３より，Ｈ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が求められる．

　さらに，ＩはＣとＡＤの中点を結んだ直線上でＣから４ｂ^2／√３の距離にある．

　　Ａ（ｘ，０，ｂ）

　　Ｂ（ｘ，０，−ｂ）

　　Ｃ（−ｘ，１／２，０）

　　Ｄ（−ｘ，−１／２，０）

　　Ｍ（０，−１／４，ｂ／２）

　　ＣＭ（ｘ，−３／４，ｂ／２）

Ｍのとき１になるように定めると

　　（Ｘ＋ｘ）／ｘ＝（Ｙ−１／２）／（−３／４）＝（Ｚ）／（ｂ／２）＝ｋ

ｋ＝（４ｂ^2／√３）／（√３／２）＝８ｂ^2／３より，Ｉ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が求められる．

Ｊ＝（Ｈ＋Ｉ）／２とおくと，

Ｅ（α，β，γ）はＢ＋２ＢＪ＝Ｆ（α，β，γ）で与えられる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝