正八面体を頂点近くで裁断すると、正六角形面8つと正方形面６つアルキメデル立体ができる。

　この切頂八面体（３次元点置換多面体）の頂点を一つ選び、それを北極とする。南極（対蹠点）まで辺をたどっていけば、何ステップで到達できるだろうか？

　これを母関数の形で書くと

　　１＋３ｘ＋５ｘ^2＋６ｘ^3＋５ｘ^4＋３ｘ^5＋ｘ^6　　

となる。これは６辺をたどっていけば対蹠点に到達できることを意味している。

　他の３次元正多面体・準正多面体については割愛するが、途中で途切れるパスもあって、係数が左右対称にならないこともある。

　母関数＝０とおいた式は当該多面体の対称性を表す固有方程式になっているものもあるが、一般にその解は実数もあれば複素数もあり、｜ｘ｜＜1もあれば｜ｘ｜＞１もあり、混沌としている。

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[１]立方体

　　１＋３ｘ＋３ｘ^2＋ｘ^3＝（１＋ｘ）^3

　　実数解３

[２]正八面体

　　１＋４ｘ＋ｘ^2

　　実数解２

[３]正１２方体

　　１＋３ｘ＋６ｘ^2＋６ｘ^3＋５３^4＋ｘ^5＝（１＋ｘ）（１＋２ｘ＋４ｘ^2＋２ｘ^3＋ｘ^4）

　　実数解１、複素数解４

[４]正２０面体

　　１＋５ｘ＋５ｘ^2＋ｘ^3＝（１＋ｘ）（１＋４ｘ＋ｘ^2）

　　実数解３

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