畳あるいはドミノ（１×２の長方形）によるタイル貼りを考える．１辺の長さ２の正方形の畳敷きは２個の畳を水平に置くか垂直に置くかの２通りの敷き方がある．チェス盤（１辺の長さ８）に対しては１２９８８８１６通りある．統計物理学ではドミノに相当するものが２原子分子であり，ドミノタイル貼りは統計物理学の問題としても一役担っている．

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【１】長方形を畳で敷きつめる

　１９６１年，物理学者のカステレイン，フィッシャー，テンパレイは縦横２辺の長さが任意の偶数（２ｍ×２ｎ）の長方形の畳の敷き方数は

　　Ｋ（ｎ，ｍ）＝Π(j=1~n)Π(k=1~m)｛４ｃｏｓ^2（ｊπ／（２ｎ＋１））＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

であることを見いだした．これはフィボナッチ数列の三角関数表現の拡張であることは，コラム「フィボナッチ数列の三角関数表現」で紹介したとおりである．

　奇数の場合も含め，この敷き方数の求め方は（その１）で解説したが，この不思議な公式には興味深い性質が隠されていて，たとえば，正方形（ｍ＝ｎ）の場合には，つねに奇数の２乗を２^n倍したものになる．

　　Ｋ（０，０）＝１＝２^0

　　Ｋ（１，１）＝２＝２^1

　　Ｋ（２，２）＝３６＝２^2３^2

　　Ｋ（３，３）＝６７２８＝２^3２９^2

　　Ｋ（４，４）＝１２９８８８１６＝２^4９０１^2

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【２】アステカダイヤモンドを畳で敷きつめる

　アステカダイヤモンドとは同じ高さの階段を４個貼り合わせてできる図形である．

　　□　　　　　　□　　　　　　　□

　　　　　　　　□□　　　　　　□□

　　　　　　　　　　　　　　　□□□

　×４　　　　　×４　　　　　　×４

　　↓　　　　　　↓　　　　　　　↓

　　□□　　　　　□□　　　　　　□□

　　□□　　　　□□□□　　　　□□□□

　　　　　　　　□□□□　　　□□□□□□

　　　　　　　　　□□　　　　□□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　□□

　　ｎ＝１　　　ｎ＝２　　　　　　ｎ＝３

　ｎ＝１のアステカダイヤモンドの畳敷きは２個の畳を水平に置くか垂直に置くかの２通りの敷き方がある．ｎ＝２については全部で８通り，一般にサイズｎのアステカダイヤモンドの畳敷きは２^n(n+1)/2通りある．

　この公式は１９９２年，４人の数学者エルキース，クーパーバーグ，ラーセン，プロップによって発見されたが，Ｋ（ｎ，ｎ）すなわち奇数の２乗を２^n倍したものよりもずっと簡単である．

　サイズｎのアステカダイヤモンドの畳敷きの数

　　Ｄn＝２^nＤn-1

はサイズｎ−１のアステカダイヤモンドの畳敷きが与えられたとすると，その各々に対してｎ個のサイズ１の畳敷き（２通り）の敷き方数（２^n通り）をかけたものの反復によって得られることを示している．正確にいうとｎ＋２個のサイズ１の畳敷きの対称性を考えると４で割る必要があり，したがってｎ個のサイズ１の畳敷きと同数になるのであるが，実際，そのような図形的な繰り返し式証明法が知られている．

　　［参］アンドリュース，エリクソン「整数の分割」数学書房

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