よく知られた結果

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２　　（メルカトール級数あるいはグレゴリー級数）

は

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

から得られる．

　ｘを−ｘで置き換えた級数

　　ｌｏｇ（１−ｘ）＝−ｘ−ｘ^2／２−ｘ^3／３−ｘ^4／４−・・・

を組み合わせると

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）が得られる．

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）

　一方，

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−ｘ^7／７＋・・・

ｘ＝１と置くと，もうひとつのよく知られた結果（グレゴリー・ライプニッツ級数）

　　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

が得られる．

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　　ｌｏｇｘ＝∫(1,x)ｄｔ／ｔ

　　ａｒｃｔａｎｘ＝∫(0,x)ｄｔ／（１＋ｔ^2）

より，有理関数

　　ｔ／（ａｔ＋ｂ），（ｄｔ＋ｅ）／（ａｔ^2＋ｂｔ＋ｃ）

の積分は，ｌｏｇｘないしａｒｃｔａｎｘに帰着される．

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