１８世紀以前は具体的な数値からなる級数の値を求めることが主流だった．俺はこんな級数の値を求めたといって自慢しあう感じだったと思われる．

　よく知られた結果（メルカトール級数）

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

は

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

から得られる．

　一方，

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−ｘ^7／７＋・・・

ｘ＝１とおくと，もうひとつのよく知られた結果（グレゴリー・ライプニッツ級数）

　　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

が得られる．

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　１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋・・・＝１／（１＋ｘ）

　−１＋２ｘ−３ｘ^2＋４ｘ^3＋・・・＝−１／（１＋ｘ）^2

ｘ＝１とおくと，

　１−２＋３−４＋・・・＝１／４

　ｘ＝１＋２＋３＋４＋・・・とおくと

　ｘ−４ｘ＝１＋２＋３＋４＋・・・−４（１＋２＋３＋４＋・・・）

＝１＋２＋３＋４＋・・・−２（２＋４＋６＋８＋・・・）

＝１−２＋３−４＋・・・＝１／４

−３ｘ＝１／４より

１＋２＋３＋４＋・・＝−１／１２

すなわち，すべての自然数の和＝−１／１２＝ζ（−１）

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