円ｘ^2＋ｙ^2＝１

dy/dx=-x/y　　（これは円周上の点の動径が接線と直交することを意味する）

1+(dy/dx)^2=1+x^2/y^2=1/y^2=1/(1-x^2)

レムニスケート

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^2−（ｘ^2−ｙ^2）＝０

をｘで微分すると

2（ｘ^2＋ｙ^2）（2ｘ+2ｙｄｙ/ｄｘ）−（2ｘ−2ｙｄｙ/ｄｘ＝０

ｄｙ/ｄｘ＝-ｘ/ｙ　　（これは周上の点の動径が接線と直交することを意味する）→ここに誤りがあった。

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　以下は正しい。

、

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θ

をθで微分してみると

　　2ｒｄｒ/ｄθ＝−2sin2θ

１＋（ｒｄθ/ｄｒ）^2＝１＋ｒ^4/（sin２θ）^2＝１＋ｒ^4/（１−ｒ^4）＝１/（１−ｒ^4）

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　　ｒ＝ｃｏｓ（ａθ）　　（正葉曲線，バラ曲線）

です．この曲線では，ａ＝１のとき，

　　1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^2)

となります．

　これまでの結果から，

　　ｒ＝ｃｏｓθのとき，1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^2)

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θのとき，1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^4)

がわかったわけですから，求める曲線は

　　ｒ^(3/2)＝ｃｏｓ（３／２θ）

に違いありません．計算してみると，確かに

　　1+(rdθ/dr)^2=1/(1-r^3)

が得られました．

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