完全楕円積分を用いると，

楕円：x2/a2+y2/b2=1の全周は4aE(e)となります．

　　∫(0,x)(1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx

　 =∫(0,x)(a^2-k^2x^2)/{(a^2-x^2)(a^2-e^2x^2)}^(1/2)dx

　　　　　　　　　　　　e＝{(a^2-b^2)/a^2}^(1/2)は離心率

　また，レムニスケート：(x2+y2)2=2a2(x2-y2)の全周は√(8)aK(1/√(2))で表されます．すなわち，レムニスケート積分が第１種楕円積分なのに対し，楕円弧長を求める積分は第２種楕円積分であり，パラレルな関係にはありません．

　糸の長さｌの単振り子の周期はT=4√(l/g)K(k)ですから，したがって，振幅が小さいときT〜2π√(l/g)と表すことができます．

　このように，楕円積分は楕円の弧長のみではなく，ばねの非線形振動や振り子の回転・振動など物理現象をを記述する際に現れますが，それ以外の思わぬところでも出現することがあります．

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【２】ランダムウォークと楕円積分

　ランダムウォークの再帰性の問題を取り上げましょう．１次元酔歩の原点復帰確率は，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

で与えられます．ここでｕ0＝１，ｕ2n+1＝０とします．

　　u0=1,u2=1/2,u4=3/8,u6=5/16,u8=35/128,u10=63/256,u12=231/1024,

　　u14=429/2048,u16=6435/32768,u18=12155/65536,u20=46189/262144

　ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)ですから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)*t^2/(n+1)

これより，級数Ｕ（ｔ）は超幾何級数1Ｆ0(1/2,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝1Ｆ0(1/2,t^2)＝（１−ｔ^2）^(-1/2)

であることがわかります．

　２項展開からすぐにこの関数を思い浮かべることは困難と思われますが，超幾何関数であると仮定すると上のようにして導き出すことができます．

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　次に，２次元ランダムウォークの母関数はどう表されるでしょうか？　２次元酔歩では，２項係数に関する公式

　　ΣnＣknＣn-k＝Σ（nＣk）^2＝2nＣn

が成り立つので，

　　ｕ2n＝１／４^(2n)（2nＣn）^2

と表されます．

　同様に，ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝｛2nＣn／２^(2n)｝^2ですから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)^2/(n+1)*t^2/(n+1)

　これより，級数Ｕ（ｔ）はガウス型超幾何級数2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)＝2/πＫ（ｔ）

より第１種楕円積分と関係しているというわけです．

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　それに対して，３次元以上の酔歩の母関数は複雑で求められそうにありませんでした．なお，ｄ次元超立方格子上のランダムウォークにおいては，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)Re(1-φ(t))^(-1)dt

　　　　φ(t)：特性関数φ(t)

ですから，とくに，３次元の場合は，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-3)∫(-π,π)（１−1/3Σｃｏｓt）^(-1)dt

　　　　　＝（√6/32π^3）Γ(1/24)Γ(5/24)Γ(7/24)Γ(11/24)

　　　　　＝１．５１・・・＜∞

となります．

　この計算はおそらく多変数の一般化超幾何関数を用いて行われるものと推測されますが，小生の力では歯がたちませんでした．いずれにせよ，この式も楕円積分とガンマ関数の関係を示すものになっていると思われます．

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