【１】楕円積分

　一般に，

　　f(x)=1/(P(x))^(1/2)

　　F(z)=∫(0,z)f(x)dx

において，P(x)が重根をもたない３次，４次の多項式の場合は，初等関数をいくら組み合わせても得られない関数が登場します．

　　f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

　　u=F(z)=∫(0,z)f(x)dx

は，レムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．

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　P(x)を３次，４次の多項式とするとき，F(z)は楕円積分，その逆関数F^(-1)(z)は楕円関数と命名されています．歴史的にいうと楕円関数は楕円積分を源とし，楕円積分の逆関数として導入されました．また，楕円曲線はフェルマー予想の解決で注目された曲線で，楕円関数でパラメトライズされる曲線です．→［補］

　３次でも４次でもx=1/tとおけば

　　dx/{x(x-a)(x-b)(x-c)}^(1/2)=-dt/{(1-at)(1-bt)(1-ct)}^(1/2)

となりますから，本質的には同じものです．また，P(x)を５次以上の多項式とするとき，当該の関数は超楕円積分，超楕円関数と呼ばれます．

　たとえば，単振り子の振動周期や楕円の弧長を求める問題を考える場合，k[0,1]をパラメータとする不完全積分

　　f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

　　f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)

　　F(z)=∫(0,z)f(x)dx

が絡んできます．

　 f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

　 K(k)=∫(0,1)f(x)dx

を第１種完全楕円積分，

　 f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)

　 E(k)=∫(0,1)f(x)dx

を第２種完全楕円積分と呼びます．

　第１種楕円積分は特に重要ですが，第１種楕円積分

　　K(k)=∫(0,1)1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)dx　（ヤコビの標準形）

で，x=sinθと変換すると

　　K(k)=∫(0,π/2)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)　　（ルジャンドルの標準形）

また，x=sin^2θ，λ=k^2とおけば

　　K(k)=∫(0,1)dz/{(z(1-z)(1-λz)}^(1/2)　　　（リーマンの標準形）

が成立します．

　これらの不定積分は初等関数では表せませんが，たとえば，第１種完全楕円積分は

　　K(k)=π/2{1+(1/2k)^2+(3/8k^2)^2+(5/16k^3)^2+･･･}

とベキ級数展開できます．

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