（問）２定点P1（−ａ，０），P2（ａ，０）からの距離の和が一定となる点の軌跡は楕円，差が一定の点の軌跡は双曲線です．また，商が一定の点は円（アポロニウスの円）を描きます．それでは積が一定の点Mはどのよう軌跡を描くでしょうか．

　（答）はカッシーニ曲線．２次の多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０，すなわち楕円，放物線，双曲線が円錐を平面で切断したときの切り口として現れたように，カッシーニ曲線はトーラス（ドーナツ）の平面による切断面として現れることが知られています．

　　｛（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2｝｛（ｘ−ａ）^2＋ｙ^2｝＝ｃ^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^2−２ａ^2（ｘ^2−ｙ^2）＝ｃ^2−ａ^4

　　ｒ^4−２ａ^2ｒ^2ｃｏｓ２θ＋ａ^4＝ｃ^2

　定数ｃが２定点間の距離２ａの半分ａの２乗に等しいとき，レムニスケート（双葉曲線）と呼ばれます．レムニスケートは８の字形（８を９０°回転させ横向きにした∞形）をしていて，その直交座標系での方程式は４次曲線（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝２ａ^2（ｘ^2−ｙ^2），極座標系ではｒ^2＝２ａ^2ｃｏｓ２θとなります．

　P1M・P2M=(P1P2/2)^2

さらに、２定点を（−１／√２，０），（１／√２，０）と定めると，レムニスケートの方程式は極座標で書くとｒ^2＝ｃｏｓ２θ，直交座標で書くと（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ｘ^2−ｙ^2となります．したがって，極座標による式のほうが，直交座標による式よりはるかに簡単です．極座標はベルヌーイの時代より前にもときどき使われていたのですが，極座標を広範囲に使用し，多くの曲線に適用してさまざまな性質を最初に見つけたのは，ヤコブ・ベルヌーイでした．

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ここで

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^2−（ｘ^2−ｙ^2）＝０

をｘで微分すると

2（ｘ^2＋ｙ^2）（2ｘ+2ｙｄｙ/ｄｘ）−（2ｘ−2ｙｄｙ/ｄｘ＝０

ｄｙ/ｄｘ＝-ｘ/ｙ　　（これは周上の点の動径が接線と直交することを意味する）→ここに誤りがあった。

１＋（ｄｙ/ｄｘ）^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）/ｙ^2

とはなるが、うまくｙを消去できず、その後が続かない。

　そこで、

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θ

をθで微分してみると

　　2ｒｄｒ/ｄθ＝−2sin2θ

１＋（ｒｄθ/ｄｒ）^2＝１＋ｒ^4/（sin２θ）^2＝１＋ｒ^4/（１−ｒ^4）＝１/（１−ｒ^4）

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レムニスケートの弧長ｌは

　　l=∫(0,r){1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)dr

　　 =∫(0,r)2a^2/{4a^4-r^4}^(1/2)

とくに，a=１／√２とおくと，

　　l=∫(0,r)1/{1ｰr^4}^(1/2)

となります．

　このようにして，ベルヌーイはレムニスケートの弧長を

　　f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

　　u=F(z)=∫(0,z)f(x)dx

と表しました．これがレムニスケート積分と呼ばれる積分です．

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ここで

　　∫(0,1)f(x)dx=1.311028･･･=ω/2

とおくことにしましょう．2ωがレムニスケートの全長です．円に類比すると，レムニスケートの定数ωは円に対するπと同じ役割を演じていることになります．

　さらにまた，レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２^(2^m)＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

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