円ｘ^2＋ｙ^2＝１の面積を求めたいならば

　　y=(1-x^2)^(1/2)

とおいて、

　　∫(0,1)ｙdx

を計算すると４分円の面積を求めることができる。

　　∫(0,1)ｙdx=π/４

　それでは

　　∫(0,1)1/ｙdx

は何を意味するのだろうか？

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　円の４分の１周の長さを求めるのに，y=(1-x^2)^(1/2)に対し，

　　∫(0,1)(1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx

を計算すると，

dy/dx=-x/y　　（これは円周上の点の動径が接線と直交することを意味する）

1+(dy/dx)^2=1+x^2/y^2=1/y^2=1/(1-x^2)

したがって、

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π/２

となります．

そこで

　　f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)

　　2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π

となり，これをπの定義とし，完全円積分と呼ぶことにします．

　　F(z)=∫(0,z)f(x)dx

は不完全円積分ですが，これから

　　sinω=F^(-1)(ω),cosω=F^(-1)(π/2-ω) と定義すると，逆正弦関数

　　sin^(-1)z=∫(0,z)f(x)dx

が得られます．

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　一般に，P(x)を２次の多項式とするとき，

　　f(x)=1/(P(x))^(1/2)

　　F(z)=∫(0,z)f(x)dx

は対数あるいは円関数（三角関数）になります．

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