これまで考察した多面体では

　　対蹠点までの距離＝平行な辺の組数＝対称平面の数であった。

であったが、ここではまず、正多面体の対称平面の個数を考えてみる。

　正多面体の対称平面の個数は案外知られていない。

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[１]正四面体

　各辺とそれに相対する辺の中点を結ぶ面、合計６枚。

　平行な辺はない

　対蹠点はなし

[２]正１２面体

　各辺とそれに相対する辺を含む面、合計１５枚。

　平行な辺は１５組

　対蹠点はある。対蹠点までの距離は５

[３]正２０面体

　各辺とそれに相対する辺を含む面、合計１５枚。

　平行な辺は１５組

　対蹠点はある。対蹠点までの距離は３

[４]立方体

　各辺とそれに相対する辺を含む面、６枚。

　中心をとおって、面の平行な互いに直交する面、３枚。合計９枚

　平行な辺は３組

　対蹠点はある。対蹠点までの距離は３

[５]正八面体

　相対する頂点とそれらを通らない辺の中点を通る面、６枚。

　4個の頂点を含む面、３枚。合計９枚

　平行な辺は６組

　対蹠点はある。対蹠点までの距離は２

　この切頂切稜多面体の平行な辺の組数はこれらの合成になるはずである。このような観察によって「実験値」がでたが、問題はそれを以下の結果と結びつける理論的証明を求めることである。

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　切頂八面体（３次元点置換多面体）の頂点を一つ選び、それを北極とする。南極（対蹠点）まで辺をたどっていけば、何ステップで到達できるだろうか？

　実際に数えてみると、どのルートをたどっても６ステップでたどりつくことができることが分かる。切頂八面体の北極と南極は「６次の隔たり」になっているというわけである。

　もっと詳細に調べてみると，

［１］１ステップで移ることができる頂点は３個ある

［２］２ステップで移ることができる頂点は５個ある

［３］３ステップで移ることができる頂点は６個ある

［４］４ステップで移ることができる頂点は５個ある

［５］５ステップで移ることができる頂点は３個ある

［６］６ステップで移ることができる頂点は１個ある

　これを母関数の形で書くと

　　１＋３ｘ＋５ｘ^2＋６ｘ^3＋５ｘ^4＋３ｘ^5＋ｘ^6　　

となる。

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