３次元の多面体を回転させながら平面上に投影する．それは多角形の集合図形になるが，中心部にあるものほど歪みが少なく実際の形に近いが，周辺にいくほど扁平になり，やがて線分に退化し裏側に隠れる．

　４次元の多胞体を回転させながら３次元空間内に投影する．多面体の集合図形になるが，中心部にあるものほど歪みが少なく実際の形に近いが，周辺にいくほど扁平になり，やがて面に退化し裏側に隠れる．

　それを飛行機の形として表現したのが（その７）である．すなわち，北極から３６０機の飛行機が南極に向かって経線上を等速航行するとします．観測者が北極星からこれを見ていると，地球は円板に見え，飛行機は次第に全長が縮まり，赤道上空では機体長さは０になってしまいます．しかし，その間，機体の幅は一定に保たれます．地球が透明であれば，その後は機体の長さは回復していき，機種が中心に向いてきます．北半球上の点と南半球上の点は同一の点とみなされます．

　それをバネにして，４次元でも思考的類推を行うと，前記の如く，「脳のなかで，投影図の中心を北極，投影図の内部を北半球，表面を赤道，ここまでは膨張してきましたがこれからは収縮に転じて，内部を南半球，最後は投影図の中心を南極というように再構成しなければなりません」となるわけです．

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　乙部融朗の針金模型では、中心部にあるものほど歪みが少なく実際の形に近い（赤でペイント）が，周辺にいくほど扁平になる（白・緑でペイント）

　中川宏の木工模型でも赤・白・緑に対応したα体・β体・γ体が得られている。

　これらは、やがて面に退化し裏側に隠れるのであるが、石井源久のCGにも面に退化した正１２面体が描かれている。

　実際によくある質問として，４次元正１２０胞体の３次元投影図には４５胞しかないということです．表４５胞＋裏４５胞と考えても９０胞しかなく，残り３０胞はどこへいったということになります．実は面に退化した胞が３０あって，表４５胞＋退化した３０胞＋裏４５胞＝１２０胞となるのです．

　同様に，４次元正６００胞体の３次元投影図には２７０胞しかないのですが，これも表２７０胞＋退化した６０胞＋裏２７０胞＝６００胞は成り立っています．

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