正５胞体の頂点は

　　（１，０，０，０，０）

　　（０，１，０，０，０）

　　（０，０，１，０，０）

　　（０，０，０，１，０）

　　（０，０，０，０，１）ですから

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝1

を満たします．

　赤道面（ｈ＝５）は

　　ｘ1−ｘ4＝ｍ（ｘ2−ｘ3）

　　ｘ2−ｘ5＝ｍ（ｘ3−ｘ4）

　　ｘ3−ｘ1＝ｍ（ｘ4−ｘ5）

　　ｘ4−ｘ2＝ｍ（ｘ5−ｘ1）

　　ｘ5−ｘ3＝ｍ（ｘ1−ｘ2）

とおくと

　　ｍ^2ーｍ−１＝０

より　　ｍ＝τ，−１/τ

が得られます．少なくともｍ＝τは（変数の消去ではなく）sukunakutomo幾何学的に得られる。

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　ｍ＝τとおくと

　　ｘ1−ｘ4＝τ（ｘ2−ｘ3）

　　ｘ2−ｘ5＝τ（ｘ3−ｘ4）

　　ｘ3−ｘ1＝τ（ｘ4−ｘ5）

　ここで，２３４面

　　ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝１，ｘ1＝０，Ｘ5＝０

を考えると，交点は

　　（０，１/τ√５，１/√５，１/τ√５，０）

　ｘ1＝０，Ｘ5＝０を代入すると、

　　−ｘ4＝τ（ｘ2−ｘ3）

　　ｘ2＝τ（ｘ3−ｘ4）

　　ｘ3＝τｘ4

第3式を第1式・第2式に代入するとｘ2＝（τ^2−１）ｘ4

ｘ2＝（τ^2−τ）ｘ4＝ｘ4

−ｘ4＝τｘ2−τ^2ｘ4→ｘ2＝ｘ4

　ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝１に代入すると

ｘ4＋τｘ4＋ｘ4＝１

より、交点は

　　（０，１/τ√５，１/√５，１/τ√５，０）

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　ここで，２４辺

　　ｘ2＋ｘ4＝１，ｘ1＝０，Ｘ3＝０、ｘ5＝０

を考える。

　ｘ1＝０，Ｘ3＝０、ｘ5＝０を代入すると、

　　−ｘ4＝τ（ｘ2）

　　ｘ2＝τ（ーｘ4）

　　０＝τｘ4

連立方程式の解はＮＧであるが、第1式をｘ2＋ｘ4＝１に代入すると

ｘ2−τｘ2＝1→ｘ2＝−τ＜０となって同様にＮＧ

　そこで、直交する面

　　ｘ1−ｘ4＝-1/τ（ｘ2−ｘ3）

　　ｘ2−ｘ5＝-1/τ（ｘ3−ｘ4）

　　ｘ3−ｘ1＝-1/τ（ｘ4−ｘ5）

を考えれば、ｘ1＝０，Ｘ3＝０、ｘ5＝０を代入すると、

　　−ｘ4＝-1/τ（ｘ2）

　　ｘ2＝-1/τ（ーｘ4）

　　０＝-1/τｘ4

第1式をｘ2＋ｘ4＝１に代入すると

ｘ2+1/τｘ2＝1→ｘ2＝1/τ＞０となってＯＫ

ｘ4＝1-1/τ＝1/τ^2

交点は

　　（０，１/τ，０，１/τ^2，０）

この置換を考えればよいことになりますが、ｈ＝５となる5交点を選ばなければなりません。．

　なお，ｍ＝−１/τとおくと

　　ｘ2−ｘ3＝τ（ｘ4−ｘ1）

　　ｘ3−ｘ4＝τ（ｘ5−ｘ2）

　　ｘ4−ｘ5＝τ（ｘ1−ｘ3）

より，交点は

　　（１/τ√５，０，１/√５，０．１/τ√５）

これは１３５面との交点にほかなりません．

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