『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nは、ｎ≧３のとき、ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない。』

　フェルマーの問題は、ｎ＝１のときにはｘ＋ｙ＝ｚという単なる足し算ですから、ｘとｙにどんな自然数を入れても自然数ｚは必ず存在します。

　ｎ＝２の場合はピタゴラス方程式と呼ばれ、無数の解をもち、しかもすべての解をもれなく求めることのできる公式も知られています。

　ｎ＝４の場合は、フェルマー自身が無限降下法という一種の背理法を用いて０と１の中間に整数が存在するという矛盾を導き出すことによって証明が与えられました。

　指数が３以上のフェルマー方程式については、ｎ＝３の場合はオイラー（１７７０年）、ｎ＝５の場合はディリクレとルジャンドル（１８２５年）、ｎ＝７の場合はラメ（１８３９年）によって証明が与えられ、それ以上のｎについては素数の場合だけを調べればよいのですが、初等的な方法では手続きが急速に複雑になって行き詰まりこれ以上進むことに限界がありました。

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　整数解を要求する２変数１次方程式ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，２変数２次方程式ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃ（ａ，ｂ，ｃは整数）などは、ギリシャのディオファントスにちなんでディオファントスの不定方程式と呼ばれます。

　たとえば、ｙ^2＝ｘ^3−２の整数解について、ディオファントスは、ｙ＝ｔ＋１，ｘ＝ｔ−１とおき、ｙ^2＝ｘ3−２に代入するとｔ2＋２ｔ＋１＝ｔ^3−３ｔ2＋３ｔ−３。

　この式はｔ（ｔ^2＋１）＝４（ｔ^2＋１）と変形できるので、ｔ＝４すなわちｙ＝５，ｘ＝３が解であるとしています。しかし、端的にいって、このような解き方にはアート（技巧）はあってもセオリー（一般的理論）がなく、勘や経験や個々の問題の性質に負っていて、決定打ではありません。

　問題はこの型の不定方程式に対するすべての整数解、あるいは有理数解を求めることですが、ステップアップしながら考えてみることにしましょう。

ａ）整数係数のａｘ＋ｂｙ＝ｃは無数の有理数解をもちます。

ｂ）二次曲線ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃのグラフは円錐曲線ですが、この方程式が有理数解を１つもてば、実は無数のもつことを示すことができます。たとえば、方程式ｘ^2＋ｙ^2＝１には、無限に多くの有理数解、（３／５，４／５），（５／１３，５／１２），（１２／３７，３５／３７）など・・・が存在します。

　ところが、半径が√３の円、ｘ^2＋ｙ^2＝３になると有理点は全くなってしまいます。２次曲線は有理点を無限のもつか、１つももたないかのどちらかです。

ｃ）「三次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど、３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかない。」

　これを証明したのはジーゲルで、その定理はジーゲルの有限性定理（１９２９年）と呼ばれています。

　この定理により、すべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが、少なくとも２変数２次多項式の可解性条件はわかったことになります。

ｄ）また、モーデル・ファルティングスの定理（１９８３）とは、「種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない。」というものです。

　２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます。一方、種数が１である曲線に楕円曲線があります。

　したがって、有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり、直線（種数０）か、円錐曲線（種数０）か、楕円曲線（種数１）に限られてきます。

　また、リーマン・フルヴィッツの公式よりフェルマー曲線は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で、これはｎ＝３のとき１ですが、ｎ≧４のときは２以上となりますから、そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです。

　円錐曲線の有理点は無限ですが、楕円曲線の有理点は有限です。実際問題として、有限とはいってもものすごい大きさこともあるわけですが、無限よりは範囲が狭められたことは確かです。

　すなわち、フェルマーの方程式に解があるとすればそれぞれのｎに対して解は高々有限です。モーデル・ファルティングスの定理によって有限個しか解がないことはわかりましが、１つもないかどうかはわかりません。フェルマーの予想が証明されたというのではありませんが、それでも大変な前進であることは明らかです。

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