［１］球面上のＫ4

［２］トーラス面上のＫ7

［３］種数６表面上のＫ12

は，ヒーウッドの公式「ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれも

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

色で塗り分けられる」に対応したものである．

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【１】トーラス面上のＫ7

［１］もし，Ｋ6が平面的であるならば，ｖ＝６，ｅ＝１５．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝９

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　２７＝３ｆ≦２ｅ＝３０

となって矛盾は生じない．

［２］もし，Ｋ7が平面的であるならば，ｖ＝７，ｅ＝２１．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝１４

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　４２＝３ｆ≦２ｅ＝４２　　（正則）

となって矛盾は生じない．

［３］もし，Ｋ8が平面的であるならば，ｖ＝８，ｅ＝２８．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝２０

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　６０＝３ｆ≦２ｅ＝５６

となって矛盾．

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【２】球面上のＫ4

　もし，Ｋ4が平面的であるならば，ｖ＝４，ｅ＝６．

　　ｆ＝２＋ｅ−ｖ＝４

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　１２＝３ｆ≦２ｅ＝１２　　（正則）

となって矛盾は生じない．

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【３】種数ｇ表面上の正則平面グラフ

　Ｋvが平面的であるならば，ｑ＝ｖ−１，ｅ＝ｖ（ｖ−１）／２．

　　ｆ＝２−２ｇ＋ｅ−ｖ＝２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝３ｆ≦２ｅ＝ｖ（ｖ−１）

　正則平面グラフであるためには

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝ｖ（ｖ−１）

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　この方程式には解が無数にあるが，

　　ｇ＝０　→　Ｋ4

　　ｇ＝１　→　Ｋ7

　　ｇ＝６　→　Ｋ12

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【４】まとめ

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　　ｖ^2−７ｖ＋１２−１２ｇ＝０

　　ｖ＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

となって，完全に一致する．

　以下，

　　ｇ＝１１　→　Ｋ15

　　ｇ＝１３　→　Ｋ16

　　ｇ＝２０　→　Ｋ19

　　ｇ＝３５　→　Ｋ24

　　ｇ＝４６　→　Ｋ27

　　ｇ＝５０　→　Ｋ28

　　ｇ＝６３　→　Ｋ31

　　ｇ＝８８　→　Ｋ36

と続く．１＋４８ｇ型の平方数は無数にあるのだろう．

　ともあれ，彩色数はオイラー標数とは別の表面の不変量なのである．

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