今回のコラムでは，グラム理論の先駆けともいえるオイラーの公式，トーラス面の塗りわけに関するヒーウッドの公式などについて紹介したい．

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【２】ヒーウッドの公式（リンゲル・ヤングスの定理）

　オイラーの公式は単純ですが，要はその使い方というわけで，たとえば，多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならないことはもっと簡単に証明できます．

　どの領域も少なくとも６つの領域で囲まれていると仮定すると

　　６ｆ≦２ｅ

また，このような問題を解くにあたっては，すべての交点で３本の境界線が会している地図だけを考えればよいので，

　　３ｖ≦２ｅ

　これらをオイラーの公式に代入すると

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦１／３ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝０≠２

となって矛盾を生じます．したがって，５個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．

　平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

でしたが，トーラス上の地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０

です．

　トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために，どの領域も少なくとも７つの領域で囲まれていると仮定すると

　　７ｆ≦２ｅ

また，３ｖ≦２ｅですから

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦２／７ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝−１／２１ｅ≠０

という矛盾を引き出すことができます．

　したがって，トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．このことを利用すると，

　　「トーラス上のどんな地図でも７色で塗り分けられる」

ことが証明されます．ヒーウッドは実際に７色を必要とする例もあげています．

　これを証明したヒーウッドはさらにｇ個の穴があいたトーラス上の地図に関するオイラーの公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２−２ｇ

を利用して

(1)２個の穴があいているトーラス上の地図はどれも８色で塗り分けられる

(2)３個の穴があいているトーラス上の地図はどれも９色で塗り分けられる

(3)１０個の穴があいているトーラス上の地図はどれも１４色で塗り分けられる

に引き続いて，

(4)ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれもＨ（ｇ）色で塗り分けられる

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

を証明しました．

　［・］はガウス記号で，

　　ｇ：１，２，３，　４，　５，　６，　７，　８，　９，１０

　　Ｈ：７，８，９，１０，１１，１２，１２，１３，１３，１４

　　ｇ：１１，１２，１３，１４，１５

　　Ｈ：１５，１５，１６，１６，１６

となるのですが，しかし，ヒーウッドはｇ≧２に対してそのような地図が実在することを示すことはできませんでした．そのため，この問題は「ヒーウッド予想」と呼ばれることになりました．

　１９６８年，リンゲルとヤングスは，ｇ個の穴のあいているトーラス上にこれだけの色を必要とする地図が存在することを証明したのですが，ヒーウッド予想（１８９０年）が最終的に証明されるまでには７７年もの歳月が必要だったというわけです．

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