任意の無理数γを与えたとき，

　　γ^n＝［γ^n］＋｛γ^n｝

において，γ^nの非整数部分｛γ^n｝のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布については，どのようなより強い結果，より深い結果が得られるのであろうか？

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［１］τ＝（１＋√５）／２，γn＝｛τ^n｝とする．γnは［０，１］で一様分布しないのであるが，ここでは一番近い整数との距離ではなく，非整数部分

　　τ^n＝［τ^n］＋｛τ^n｝

を調べてみると

　　｛τ^1｝＝．６１８０３＝１−．３８１７９

　　｛τ^2｝＝．６１８０３＝１−．３８１７９

　　｛τ^3｝＝．２３６０７

　　｛τ^4｝＝．８５４１０＝１−．１４５９０

　　｛τ^5｝＝．０９０１７

　　・・・・・・・・・・・・・

となって，０または１に近づくことがわかる．

［２］最高次の係数が１，それ以外の係数が｛−１，０，１｝だけからなる黄金比の多項式で表せる数全体をの集合Ｓ（τ）を考えてみる．

　すると，Ｓ（τ）は実軸上，

［１］隣り合う２点間の距離は一定値Ｒ以下（相対稠密）

［２］隣り合う２点間の距離は一定値ｒ以上（一様離散）

という２つの重要な性質を満たしている．

　　τ＝（１＋√５）／２＝α，（１−√５）／２＝β

とおけば，これらはｘ^2−ｘ−１＝０の２根で，

　　α＋β＝１，αβ＝−１

α^n＋β^nは常に整数となる．このとき，

　　｜β^n｜→０，｜α^n｜→整数

［３］一様離散性（反発力）の証明

　最高次の係数が１，それ以外の係数が｛ａi｜−１，０，１｝，｛ｂi｜−１，０，１｝だけからなる黄金比の多項式から，

　　Ａ＝Σ（ａn−ｂn）α^n

　　Ｂ＝Σ（ａn−ｂn）β^n

を考える．

　｜ａn−ｂn｜≦２より，

　｜Ｂ｜≦２／（１−｜β｜）

　また，ＡＢはｐ＝α＋β，ｑ＝αβの整数係数多項式になるので，ＡＢは整数になる．｜ＡＢ｜≧１

　　｜Ａ｜≧１／｜Ｂ｜≧（１−｜β｜）／２＝．１９０９８＞０

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