■放物線・懸垂線・楕円曲線(その19)

 アイゼンシュタイン級数

  Ek(z)=Σ1/(mz+n)^k

  Ek(z)=−Bk/2k+買ミk-1(n)q^n

 任意のモジュラー形式はE4(z)とE6(z)の多項式である.

  f(z)=F(E4(z),E6(z))

これは相当に驚くべき定理である.

===================================

 一般に,4以上の偶数lに対して

  Ek(z)=−Bk/2k+Σσk-1(n)exp(2πinz)

と定めると,重さkの保型性をもっている.

  Ek(−1/z)=z^kEk(z)

 たとえば,アイゼンシュタイン級数(重さ6)を考える.

  E6(z)=−1/504+Σσ5(n)exp(2πinz)

 重さ6の保型性をもっている.

  E6(−1/z)=z^6E6(z)

===================================

  E4(z)=1/240+Σσ3(n)exp(2πinz)

  E6(z)=−1/504+Σσ5(n)exp(2πinz)

は無限遠零点をもたない.

  E4(i∞)=1/240

  E6(i∞)=−1/504

 ただし,

  {(240E4)^3−(504E6)^2}/1728=Δ

  Δ(z)=qΠ(1−q^n)^24=Στ(n)q^n

が成立していて,カスプ形式である.

===================================