■放物線・懸垂線・楕円曲線(その19)
アイゼンシュタイン級数
Ek(z)=Σ1/(mz+n)^k
Ek(z)=−Bk/2k+買ミk-1(n)q^n
任意のモジュラー形式はE4(z)とE6(z)の多項式である.
f(z)=F(E4(z),E6(z))
これは相当に驚くべき定理である.
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一般に,4以上の偶数lに対して
Ek(z)=−Bk/2k+Σσk-1(n)exp(2πinz)
と定めると,重さkの保型性をもっている.
Ek(−1/z)=z^kEk(z)
たとえば,アイゼンシュタイン級数(重さ6)を考える.
E6(z)=−1/504+Σσ5(n)exp(2πinz)
重さ6の保型性をもっている.
E6(−1/z)=z^6E6(z)
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E4(z)=1/240+Σσ3(n)exp(2πinz)
E6(z)=−1/504+Σσ5(n)exp(2πinz)
は無限遠零点をもたない.
E4(i∞)=1/240
E6(i∞)=−1/504
ただし,
{(240E4)^3−(504E6)^2}/1728=Δ
Δ(z)=qΠ(1−q^n)^24=Στ(n)q^n
が成立していて,カスプ形式である.
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