■DE群多面体の面数公式(その931)

2ρ,2σ,ρ+σのいずれも可能であることが確かめられた.

2arccosx=arccos(2x^2−1)

arccosx+arccosy=arccos(x√(1−y^2)+y√(1−x^2))

===================================

[1]D4

ρについて

  cosθ=√2/{6+2}^1/2=1/2

σについて

  cosθ=√2/{6+2}^1/2=1/2

ρ=arccos(1/2)

σ=arccos(1/2)とおくと,

2ρ=arccos(−1/2)=2σ=ρ+σ

[2]D5

ρについて

  cosθ=√10/3/{10+10/9}^1/2=√10/3・√9/100=1/√10

σについて

  cosθ=√2/{2+2}^1/2=1/√2

ρ=arccos(1/√10)

σ=arccos(1/√2)とおくと,

2ρ=arccos(−4/5)

2σ=arccos(0)

ρ+σ

=arccos(1/√10・1/√2−√9/10・1/√2)

=arccos(−2/√20)

=arccos(−1/√5)

[3]D6

ρについて

  cosθ=√3/2/{15+3/4}^1/2=√3/63=1/√21

σについて

  cosθ=√2/{10/9+2}^1/2=√2/√28/9)=3/√14

ρ=arccos(1/√21)

σ=arccos(3/√14)とおくと,

2ρ=arccos(−19/21)

2σ=arccos(4/14)・・・(+)

ρ+σ

=arccos(1/√21・3/√14−√20/21・√(5/14))

=arccos(−7/√21・√14)

=arccos(−1/√6)

===================================