Π（ｎ^2／（ｎ^2−１）

＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（４・４／３・５）・・・（ｎ・ｎ／（ｎ−１）・（ｎ＋１））・・・

→２

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［Ｑ］全素数にわたる積

　　（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

を求めよ．

［Ａ］当該の式

　（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

は

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝Π１／（１−１／ｐ^2）

と書いたほうがわかりやすいかもしれない．これはオイラー積であって，

　ζ（２）＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^s ＋１／４^2 ＋・・・＝π^2／６

に等しい．

　よって，

　　π^2／６＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

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　したがって，ｑがすべての合成数を渡るとき

　　Π（ｑ^2／（ｑ^2−１）＝１２／π^2

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