簡単な略図をあがいてみると，母関数は

　（１＋ｘ）

　（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3）＝１＋２ｘ＋２ｘ^2＋２ｘ^3＋ｘ^4

　（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3）（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5）

＝１＋３ｘ＋５ｘ^2＋７ｘ^3＋８ｘ^4＋８ｘ^5＋７ｘ^6＋５ｘ^7＋３ｘ^8＋ｘ^9

となることが確認できた．

　３次元置換多面体の母関数は

（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）（１−ｘ^4）／（１−ｘ）^3

高次元の場合は推して知るべし

　３次元の場合の立方体版の母関数は

（１−ｘ^2）（１−ｘ^4）（１−ｘ^6）／（１−ｘ）^3

であるから，正１２面体版の母関数は

（１−ｘ^2）（１−ｘ^5）（１−ｘ^8）／（１−ｘ）^3

になるのではないかと思われるかもしれないが，そうではない．

　ここでは正１２面体版である

｛５３｝（１１１）

｛５３３｝（１１１１）

について考える．頂点数はそれぞれ１２０と１４４００，ファセット数は６２と２６４０となる．

｛５３３３｝（１１１１１）

｛５３３３３｝（１１１１１１）

は存在しないことはご存じであろう．

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　原正Ｍ胞体について，ひとつの稜線を構成する頂点数をｋ1＝２，ひとつの面を構成する辺数をｋ2，ひとつの面を構成する辺数をｋ2，・・・，ひとつのファセットを構成する（ｎ−１）次元胞数をｋn＝Ｍとする．

　｛ｋ1，ｋ2，・・・，ｋn｝は

［１］正（ｎ＋１）胞体の場合，｛２，３，４，・・・，ｎ＋１）

［２］正２ｎ胞体の場合，｛２，４，６，・・・，２ｎ）

［３］正１２面体の場合，｛２，５，１２｝

［４］正１２０面体の場合，｛２，５，１２，１２０｝

　したがって，

［３］正１２面体版の母関数は

（１−ｘ^2）（１−ｘ^5）（１−ｘ^12）／（１−ｘ）^3

［４］正１２０胞体版の母関数は

（１−ｘ^2）（１−ｘ^5）（１−ｘ^12）（１−ｘ^120）／（１−ｘ）^4

となる．

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［雑感］これらのことはＯＥＩＳで調べることができるだろう．

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