【１】菱形タイルによる非周期的平面充填

　凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れる．凧と矢よりも２種類の菱形（７２°−１０８°，３６°−１４４°）で代替した方がわかりやすい．すなわち，２種類の菱形（７２°−１０８°，３６°−１４４°）を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れる．パターン全体にわたって正十角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示している．

　２種類の菱形は（２π／５−３π／５，π／５−４π／５）は正十角形の中心角π／５から導かれたものである．もし７回回転対称にしたければ正十四角形の中心角π／７から導かれた３種類の菱形（π／７−６π／７，２π／７−５π／７，３π／７−４π／７）を使うとよいことがわかる．

　パターン全体にわたって正十四角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示すことになり，ペンローズ・タイル貼りに見た目がよく似たものができる．

　もちろん，８回回転対称，９回回転対称，さらに高次のペンローズ・タイル貼りも同様の方法で作ることができる．もし９回回転対称にしたければ正十八角形の中心角π／９から導かれた４種類の菱形（π／９−８π／９，２π／９−７π／９，３π／９−６π／９，４π／９−５π／９）を使うとよいが，８回回転対称の場合はどうだろうか？

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【２】正ｎ角形の菱形分割

　正奇数角形の場合は辺の数を２倍にすれば（正２ｎ角形）ゾーン多角形のようなものになり，菱形に分割できる．

［１］ｎ＝５のとき，（π／５−４π／５），（２π／５−３π／５）

［２］ｎ＝７のとき，（π／７−６π／７），（２π／７−５π／７），（３π／７−４π／７）

［３］ｎ＝９のとき，（π／９−８π／９），（２π／９−７π／９），（３π／９−６π／９），（４π／９−５π／９）

［４］ｎ＝１１のとき，（π／１１−１０π／１１），（２π／１１−９π／１１），（３π／１１−８π／１１），（４π／１１−７π／１１），（５π／１１−６π／１１）

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　正偶数角形の場合はそのままゾーン多角形になる．

　　（２π／ｎ−（１−２／ｎ）π，４π／ｎ−（１−４／ｎ）π，・・・）

［１］ｎ＝６のとき，（π／３−２π／３）

［２］ｎ＝８のとき，（π／４−３π／４），（π／２−π／２）

［３］ｎ＝１０のとき，（π／５−４π／５），（２π／５−３π／５）

［４］ｎ＝１２のとき，（π／６−５π／６），（π／３−２π／３），（π／２−π／２）

　たとえば，正１２角形の菱形分割では３種類の菱形を同し毎数ずつ使う．（π／６−５π／６）６枚，（π／３−２π／３）６枚，（π／２−π／２）６枚．

　分割の仕方は一通りではない．ｎ＝４では正方形になるが，ｎが６以上では２通り以上の菱形に分割される．ｎ＝６の場合は２通り，ｎ＝８の場合は４通りなど．

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