話を簡単にするため１次元の結晶について考えてみよう．１次元なんてつまらないと感じるかもしれないが，何事もまずは簡単な例からというのは科学的な態度であり，大きな御利益が得られる場合も少なくない．

　間隔Ｒで正負イオンが交互に１直線上に並んだ

　　・・・−Ｎａ+−Ｃｌ-−Ｎａ+−Ｃｌ-−Ｎａ+−Ｃｌ-−・・・

において，１つのＮａ+イオンに注目すると，第１近接は両隣にある２個のＣｌ-イオンであり，第２近接はさらにその隣にある２個のＮａ+イオンである．１次元であっても原理的には同じであるから，以下同様に，

　　Ｕ＝-e^2/R*2[1-1/2+1/3-1/4+･･･]

が得られる．因子２は等距離のところに左右１個ずつ２つのイオンがあることを考慮している．

　ここで，括弧の中の和

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・

は調和級数

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

の交代級数であり，メルカトールの定数とかグレゴリーの定数と呼ばれている定数である．

　この値は対数関数のマクローリン展開

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ2 ＋１／３ｘ3 −１／４ｘ4 ＋・・・

においてｘ＝１とおくとｌｏｇ２に収束するから，最終的には

　　Ｕ＝-e^2/R*2log2

より，１次元の鎖に対するマーデルング定数は

　　α＝２ｌｏｇ２＝１．３８６

である．

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