ｒk（ｎ）をｋ個の平方数の和としてｎを表す方法の個数とする．ただし，

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，０^2を含め，さらに，ａ^2と（−ａ）^2を異なる方法として数える．また，順序が異なるもの（ａ^2＋ｂ^2とｂ^2＋ａ^2）を区別して数えることにする．

　ｒ2（０）は，０＝０^2＋０^2しかないからｒ2（０）＝１

　ｒ2（１）は，１＝（±１）^2＋０^2

すなわち，１＝１^2＋０^2＝０^2＋１^2＝（−１）^2＋０^2＝０^2＋（−１）^2より，ｒ2（１）＝４

　ｒ4（４）＝２４

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　ｄ1（ｎ）をｎを４で割ったとき余りが１になるｎの正の約数の個数

　ｄ3（ｎ）をｎを４で割ったとき余りが３になるｎの正の約数の個数

　δ（ｎ）＝ｄ1（ｎ）−ｄ3（ｎ）

ｎ＝１のとき，１を４で割った余りは１であるからｄ1（１）＝１，ｄ3（１）＝０→δ（１）＝１

ｎ＝８のとき，

　８＝（±２）^2＋（±２）^2　　　４通り→ｒ2（８）＝４

８の約数は１，２，４，８．

４で割った余りが１である約数は１→ｄ1（８）＝１

４で割った余りが３である約数はないからｄ3（８）＝０→δ（８）＝１

ｎ＝９のとき，

　９＝（±３）^2＋０^2　　　４通り→ｒ2（９）＝４

９の約数は１，３，９

４で割った余りが１である約数は１，９→ｄ1（９）＝２

４で割った余りが３である約数は３→ｄ3（９）＝→δ（９）＝１

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［定理］ｒ2（ｎ）＝４δ（ｎ）

　　ｒ2（１）＝４＝４δ（１）

　　ｒ2（８）＝４＝４δ（８）

　　ｒ2（９）＝４＝４δ（９）

　この定理はｒ2（ｎ）は４の倍数で，ｄ1（ｎ）≧ｄ3（ｎ）を意味している．

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［補１］平方数の偶数個の和のほうが，奇数個の和よりもかなり易しい．

［補２］ヤコビのテータ関数

　　θ（ｑ）＝Σｑ^m^2＝１＋２ｑ＋２ｑ^4＋２ｑ^9＋・・・，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

　　θ（ｑ）^t＝｛Σｑ^m^2｝^t＝Σｒt（ｎ）ｑ^n

m^2１＋２ｑ＋２ｑ^4＋２ｑ^9＋・・・，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

［補３］ｎが２４個の平方数の和として表されるとき，何通りの方法で２４個の平方数の和として表すことができるか？

　ｒ24（ｎ）は

　　θ（ｚ）^24＝ｓΔ（ｚ＋１／２）＋ｔΔ（２ｚ）＋ｕＥ12（ｚ）

から求めることができて，

　　ｒ24（ｎ）＝１６σ11（ｎ）／６９１−１２８｛５１２τ（ｎ／２）＋（−１）^n２５９τ（ｎ）｝／６９１

〜１６σ11（ｎ）／６９１

［Ｑ］６を２４個の平方数の和に表す方法は何通りあるか？

［Ａ］ｒ24（６）＝８６６２７７０

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