■フェルマーの小定理とウィルソンの定理(その5)

 今回のコラムでは,sが奇数の場合に

  Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^s

  Σk=1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2

で割り切れることを証明してみます.

  1^s+2^s+3^s+・・・+n^s=0  (mod n(n+1)/2)

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【1】n=2m+1の場合

  1^s+2^s+3^s+・・・+n^s=0  (mod n(n+1)/2)

  1^s+2^s+・・・+(2m)^s=0  (mod m(2m+1))

になるが,mと2m+1は互いに素であるから,

  1^s+2^s+・・・+(2m)^s=0  (mod 2m+1)

かつ

  1^s+2^s+・・・+(2m)^s=0  (mod m)

を証明することと同値である.

 まず

  1^s+2^s+・・・+(2m)^s=0  (mod 2m+1)

から始めるが,mod 2m+1より,2m=−1,2m−1=−2,・・・

 したがって,

  1^s+2^s+・・・+(2m)^s

 =1^s+2^s+・・・+m^s+(−1)^s+(−2)^s+・・・+(−m)^s=0  (mod 2m+1)

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【2】n=2mの場合

 次に

  1^s+2^s+・・・+(2m)^s=0  (mod m)

であるが,mod mより,m=0,m+1=1,・・・

  1^s+2^s+・・・+(2m)^s

=1^s+2^s+・・・+m^s+m^s+(m+1)^s+・・・+(2m)^s

 =1^s+2^s+・・・+0^s+0^s+1^s+・・・+0^s

 =2(1^s+2^s+・・・+(m−1)^s)  (mod m)

 ここで,mが奇数ならば

 2(1^s+2^s+・・・+(m−1)^s)  (mod m)

=2(1^s+・・・+((m−1)/2)^s+(−(m−1)/2)^s+・・・+(−1)^s)=0となるし,mが偶数ならば(m=2k)

 2(1^s+2^s+・・・+(m−1)^s)=2k^s=0 (mod 2k)

となって証明されたことになる.

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