（Ｑ）ｐは素数，ｈ1，ｈ2。・・・，ｈsを整数とすると

　　（ｈ1＋ｈ2＋・・・＋ｈs）^p＝ｈ1^p＋ｈ2^p＋・・・＋ｈs^p　　（ｍｏｄ　ｐ）

（Ａ）２項の場合

　　（ｈ1＋ｈ2）^p＝ｈ1^p＋（ｐ，１）ｈ1^p-1ｈ2＋・・・＋（ｐ，ｐ−１）ｈ1ｈ2^p-1＋ｈ2^p＝ｈ1^p＋ｈ2^p　　（ｍｏｄ　ｐ）

　３項の場合

　　（ｈ1＋ｈ2＋ｈ3）^p＝（ｈ1＋ｈ2）^p＋ｈ3^p＝ｈ1^p＋ｈ2^p＋ｈ3^p　　（ｍｏｄ　ｐ）

等々．

　この式において，ｈ1＝ｈ2＝・・・＝ｈs＝１とおけば，フェルマーの定理を与える．

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（Ｑ）ｐを素数とするとき，

　　（ｐ−１）！＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明せよ（ウィルソンの定理）

（Ａ）｛２，３，・・・，ｐ−２｝のなかで，ｘｘ’＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）を満足させるようなｘ，ｘ’の対を考える．ｐ＞３であればｘｘ’＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）となるようなｘと異なるｘ’が存在する．もしｘ＝ｘ’ならば（ｘ＋１）（ｘ−１）＝０（ｍｏｄｐ）となり，ｘ＝１かまたはｘ＝ｐ−１でなければならない．ゆえに

　　２・３・・・（ｐ−２）＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　１・２・３・・・（ｐ−２）（ｐ−１）＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　もしｐが１＜ｕ＜ｐとなる約数ｕをもつとすれば

　　１・２・３・・・（ｐ−２）（ｐ−１）＋１＝１　　（ｍｏｄ　ｕ）

でなければならない．→ｐは素数である．

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　ウィルソンの定理を用いると

　　ｘ^2＋１＝０（ｍｏｄｐ），ｐ＝４ｍ＋１

の解はｘ＝±１・２・・・２ｍ（ｍｏｄｐ）となることがわかる．

（Ａ）

　　１・２・・・２ｍ（ｐ−２ｍ）・・・（ｐ−２）（ｐ−１）＋１＝１

　　（１・２・・・２ｍ）^2＋１＝０（ｍｏｄｐ）

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