また，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，

　　Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)　　　（タウ・ディリクレ級数）

とおくと（オイラー積のアナローグ）

　　Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)

が成り立つことを予想したのです（１９１６年）．

　ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．

　また，τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想（ハッセの定理のアナローグ），

　　｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)

が証明されています．ラマヌジャン予想はギリギリの予想であって，たとえばｐの指数を１１／２＝５．５からちょっと小さくして５．４９９としたとすると，｜τ(p)｜＜２ｐ^5.499とはならない素数ｐが存在するのです．

　なお，佐藤予想のもとで

　　τ(p)＝２ｐ^(11/2)ｃｏｓθp

とおくと，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角θpが［ａ，ｂ］となる素数密度は

　　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

で与えられるだろうという予想がたてられています（セール，１９６８年）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝