ｚ／（ｅｘｐ(ｚ)−１）

＝Ｂ0＋Ｂ1／１！ｚ＋Ｂ2／２！ｚ^2＋Ｂ3／３！ｚ^3＋・・・

であるが，ここで，Ｓkを求めるために

　　ｆ（ｘ＋１）−ｆ（ｘ）＝ｘ^k

を満たす関数を見つけたい．

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【１】ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式

　ここで，二変数関数

　　ｚ・ｅｘｐ（ｚｘ）／（ｅｘｐ(ｚ)−１）

を考えると，Ｂは定数でなく，ｘの関数となる．すなわち，

ｚ・ｅｘｐ（ｚｘ）／（ｅｘｐ(ｚ)−１）

＝Ｂ0（ｘ）＋Ｂ1（ｘ）／１！ｚ＋Ｂ2）ｘ）／２！ｚ^2＋Ｂ3（ｘ）／３！ｚ^3＋・・・

Ｂ0＝Ｂ0（０），Ｂ1＝Ｂ1（０），Ｂ2＝Ｂ2（０），Ｂ3＝Ｂ3（０），・・・

　　ｚ・ｅｘｐ（ｚｘ）／（ｅｘｐ(ｚ)−１）

＝（１＋ｘｚ＋１／２！ｘ^2ｚ^2＋１／３！ｘ^3ｚ^3＋・・・）（Ｂ0＋Ｂ1／１！ｚ＋Ｂ2／２！ｚ^2＋Ｂ3／３！ｚ^3＋・・・）

　ｚ^nの係数を比較すると

Ｂ0ｘ^s＋Ｂ1（ｓ，１）ｘ^s-1＋Ｂ2（ｓ，２）ｘ^s-2＋・・・＋Ｂs＝Ｂs（ｘ）より，

　　Ｂ0(x)＝１（定数）

　　Ｂ1(x)＝ｘ−１／２

　　Ｂ2(x)＝ｘ^2−ｘ＋１／６

　　Ｂ3(x)＝ｘ^3−３ｘ^2／２＋ｘ／２

　　Ｂ4(x)＝ｘ^4−２ｘ^3＋ｘ^2−１／３０

　　Ｂ5(x)＝ｘ^5−５ｘ^4／２＋５ｘ^3／３−ｘ／６

　　Ｂ6(x)＝ｘ^6−３ｘ^5＋５ｘ^4／２＋ｘ^2／２＋１／４２

　　Ｂ7(x)＝ｘ^7−７ｘ^6／２＋７ｘ^5／２＋７ｘ^3／６＋ｘ／６

が算出される．

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