Ｓk＝１^k＋２^k＋３^k＋・・・＋ｎ^k

とおく．

（ｘ＋１）^k＝ｘ^k＋（ｋ，１）ｘ^k-1＋（ｋ，２）ｘ^k-2＋・・・＋（ｋ，ｋ−１）ｘ＋１

（ｘ＋１）^k−ｘ^k＝（ｋ，１）ｘ^k-1＋（ｋ，２）ｘ^k-2＋・・・＋（ｋ，ｋ−１）ｘ＋１

ｘ＝１，２，３，・・・，ｎとして，両辺を加えると

（ｎ＋１）^k−１＝（ｋ，１）Ｓk-1＋（ｋ，２）Ｓk-2＋・・・＋（ｋ，ｋ−１）Ｓ1＋ｎ

（ｎ＋１）^k−（ｎ＋）＝（ｋ，１）Ｓk-1＋（ｋ，２）Ｓk-2＋・・・＋（ｋ，ｋ−１）Ｓ1

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［１］ｋ＝２を代入

（ｎ＋１）^2−（ｎ＋１）＝２Ｓ1

Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）／２

［２］ｋ＝３を代入

（ｎ＋１）^3−（ｎ＋１）＝３Ｓ2＋３Ｓ1

ｎ（ｎ^2＋３ｎ＋２）＝３Ｓ2＋３Ｓ1

Ｓ2＝｛２ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）−３ｎ（ｎ＋１）｝／６

Ｓ2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

［３］ｋ＝４を代入

（ｎ＋１）^4−（ｎ＋１）＝４Ｓ3＋６Ｓ2＋４Ｓ1

ｎ（ｎ^3＋４ｎ^2＋６ｎ＋３）＝４Ｓ3＋ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋２ｎ（ｎ＋１）

ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2＋３ｎ＋３）＝４Ｓ3＋ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋２ｎ（ｎ＋１）

ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2＋３ｎ＋３−２ｎ−１−２）＝４Ｓ3

ｎ^2（ｎ＋１）^2／４＝Ｓ3

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