ζ（２）ζ（２ｎ−２）＋ζ（４）ζ（２ｎ−４）＋・・・＋ζ（２ｎ−４）ζ（４）＋ζ（２ｎ−２）ζ（２）＝（ｎ＋１／２）ζ（２ｎ）

でなく，もし，

（１＋１／２）ζ（２）・（ｎ−１／２）ζ（２ｎ−２）＋（２＋１／２）ζ（４）・（ｎ−３／２）ζ（２ｎ−４）＋・・・＋（ｎ−３／２）ζ（２ｎ−４）・（２＋１／２）ζ（４）＋（ｎ−１／２）ζ（２ｎ−２）・（１＋１／２）ζ（２）＝（ｎ＋１／２）ζ（２ｎ）

ならば，カタラン数と同様にして偶数ゼータに対する母関数を作ることができるのであるが，とりあえず（ｎ＋１／２）は無視して・・・

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　母関数を

　　Ｚ（ｘ）＝ｚ（０）＋ｚ（２）ｘ^2＋ｚ（４）ｘ^4＋・・・＋ｚ（２ｎ）ｘ^2n＋・・・

とおく．これを２乗すると

　　Ｚ（ｘ）^2＝ｚ（０）ｚ（０）＋（ｚ（０）ｚ（２）＋ｚ（２）ｚ（０））ｘ^2＋ （ｚ（０）ｚ（４）＋ｚ（２）ｚ（２）＋ｚ（４）ｚ（０））ｘ^4＋・・・

　ここで，

　　ｚ（０）ｚ（０）＝ｚ（２）

　　ｚ（０）ｚ（２）＋ｚ（２）ｚ（０）＝ｚ（４）

　　ｚ（０）ｚ（４）＋ｚ（２）ｚ（２）＋ｚ（４）ｚ（０）＝ｚ（６）

とおくと，

　　Ｚ（ｘ）^2＝ｚ（２）＋ｚ（４）ｘ^2＋ ｚ（６）ｘ^4＋・・・

　次数を揃えるために，両辺にｘ^2をかけて

　　ｘ^2Ｚ（ｘ）^2＝ｚ（２）ｘ^2＋ｚ（４）ｘ^4＋ ｚ（３）ｘ^6＋・・・

　　ｘ^2Ｚ（ｘ）^2＝Ｚ（ｘ）−ｚ（０）

　Ｚ（ｘ）に関する２次方程式を解いて，母関数は

　　Ｚ（ｘ）＝｛ｚ（０）−（１−４ｚ（０）ｘ^2）^1/2｝／２ｘ^2

　ここで，ｚ（０）＝１とするとニュートンの二項展開により，一般項

　　ｚ（２ｎ）＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／（ｎ＋１）！ｎ！

が得られる．

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