６（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

＝（ａ＋ｂ）^4＋（ａ−ｂ）^4＋（ｃ＋ｄ）^4＋（ｃ−ｄ）^4

＋（ａ＋ｃ）^4＋（ａ−ｃ）^4＋（ｂ＋ｄ）^4＋（ｂ−ｄ）^4

＋（ａ＋ｄ）^4＋（ａ−ｄ）^4＋（ｂ＋ｃ）^4＋（ｂ−ｃ）^4

について，右辺を展開してみると

　２（ａ^4＋６ａ^2ｂ^2＋ｂ^4）＋２（ｃ^4＋６ｃ^2ｄ^2＋ｄ^4）

＋２（ａ^4＋６ａ^2ｃ^2＋ｃ^4）＋２（ｂ^4＋６ｂ^2ｄ^2＋ｄ^4）

＋２（ａ^4＋６ａ^2ｄ^2＋ｄ^4）＋２（ｂ^4＋６ｂ^2ｃ^2＋ｃ^4）

＝６（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＋１２（ａ^2ｂ^2＋ａ^2ｃ^2＋ａ^2ｄ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｂ^2ｄ^2＋ｃ^2ｄ^2）＝左辺

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　６（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2）

　＝（ｘ−ｙ）^2＋（ｚ−ｗ）^2＋（ｘ＋ｙ）^2＋（ｚ＋ｗ）^2

　＋（ｘ−ｚ）^2＋（ｙ−ｗ）^2＋（ｘ＋ｚ）^2＋（ｙ＋ｗ）^2

　＋（ｘ−ｗ）^2＋（ｙ−ｚ）^2＋（ｘ＋ｗ）^2＋（ｙ＋ｚ）^2

について，右辺を展開してみると

　２（ｘ^2＋ｙ^2）＋２（ｚ^2＋ｗ^2）

＋２（ｘ^2＋ｚ^2）＋２（ｙ^2＋ｗ^2）

＋２（ｘ^2＋ｗ^2）＋２（ｙ^2＋ｚ^2）

＝６（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2）

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