ヒルベルトはいなかる項数の２乗の和の多項式として表すことはできない２変数関数が存在することを証明したが，その証明は構成的ではなく，具体例を示したわけではなかった．具体例をはじめて示したのはモツキンである（１９６７年）．

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【１】モツキンの反例

　２変数関数

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝１−３ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2ｙ^4＋ｘ^4ｙ^2

は，いなかる項数の２乗の和の多項式として表すことはできない．

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【２】ヒルベルトの定理

　算術平均Ａ（ａ^n）と幾何平均Ｇ（ａ^n）についてのフルヴィッツ・ムーアヘッドの等式

　　ｎ｛Ａ（ａ^n）−Ｇ（ａ^n）｝

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・｝

において，右辺はａ1，ａ2，・・・，ａnを置換して得られる値の総和である．

　また，このことから算術平均と幾何平均の大小関係についての有名な不等式

　　Ａ（ａ^n）≧Ｇ（ａ^n）

の別証明が得られる．

　　Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・

　＝ΣＰ1（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ2（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ3（ａ1−ａ2）^2＋・・・

　＝Σ（Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＋・・・）（ａ1−ａ2）^2

　＝ΣＰ0（ａ1−ａ2）^2≧０

　このように２次式の和の形ΣｋＰ^2が出現するのだが，さらに，

　　ａ1＝ｘ1^2，ａ2＝ｘ2^2，・・・

とおくと，

　　（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）

　＝（ｘ1^2(n-1)−ｘ2^2(n-1)）（ｘ1^2−ｘ2^2）

　＝（ｘ1^2−ｘ2^2）^2（ｘ1^2(n-2)＋ｘ1^2(n-3)ｘ2^2＋・・・＋ｘ2^2(n-2)）

となり，各項が（ｘ1^2−ｘ2^2）ｘ1^(n-2)の平方の形の多項式となっていることがわかる．このことから，多項式Ｐ1，Ｐ2，・・・それ自体も平方の和となることが理解される．

　そのことを具体的に書いてみると

　　（ａ^2＋ｂ^2）／２−ａｂ＝１／２（ａ−ｂ）^2≧０

　　（ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6）／３−ａ^2ｂ^2ｃ^2＝１／６（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）｛（ａ^2−ｂ^2）^2＋（ｂ^2−ｃ^2）^2＋（ｃ^2−ａ^2）^2｝≧０

である．右辺が平方式の和に書き直せるので非負になることは明らかであろう．

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　フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式により，

　　ａ1^n＋ａ2^n＋・・・＋ａn^n−ｎａ1ａ2・・・ａn

を各項が非負値の和として表すことができることがわかっているが，特に２ｎ次のとき，

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−２ｎｘ1ｘ2・・・ｘ2n

　　　＝ｘ1^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2・・・ｘn^2

　　　＋ｘn+1^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−ｎｘn+1^2・・・ｘ2n^2

　　　＋ｎ（ｘ1・・・ｘn−ｘn+1・・・ｘ2n）^2

より，

　　Ｆ＝ΣＰi^2≧０

を示すことができる．

　この定理は，

　　a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd

　　a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6-6abcdef

が多項式の平方の和となることを保証するものである．たとえば，

　　ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＋ｗ^4−４ｘｙｚｗ

　＝（ｘ^2−ｙ^2）^2＋（ｚ^2−ｗ^2）^2＋２（ｘｙ−ｚｗ）^2

は３個の多項式の平方の和である．

　また，

　　ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−６ｘｙｚｕｖｗ

　＝１／２（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋１／２（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2

は１９個の多項式の平方の和である．

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　ヒルベルトは，多項式の不等式は必ず平方式の和として表されるという予想をたてた．そして，どのようなＦがいくつかの多項式Ｐiを用いて

　　Ｆ＝ΣＰi^2≧０

と表されるかという問題の証明を試みたのであるが，基本的には正しいものの当初予想されたような完全な完全な形での成立は不可能であることがわかった．

　最終的には，Ｆの次数を２ｎとし，変数の数をｍとした場合，

　　(1)ｍ＝２，ｎは任意

　　(2)ｍは任意，２ｎ＝２

　　(3)ｍ＝３，２ｎ＝４

は実数係数２次形式の和で表されるが，これ以外のものについては表されないものが存在するという結論である．

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