４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，４個の平方数による分割

　　ｎ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

の解の個数をＲ（ｎ）＝ｒ4（ｎ）で表せば，１８２９年，ヤコビは

　　Ｒ（ｎ）＝　８Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ＝１（mod 2）

　　Ｒ（ｎ）＝２４Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ＝０（mod 2）

　　　Σは（２ｄ＋１）｜ｎをわたる

を示しました．

　この出発点となった考え方は，

　　{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n

　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［補１］平方数の偶数個の和のほうが，奇数個の和よりもかなり易しい．

［補２］ヤコビのテータ関数

　　θ（ｑ）＝Σｑ^m^2＝１＋２ｑ＋２ｑ^4＋２ｑ^9＋・・・，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

　　θ（ｑ）^t＝｛Σｑ^m^2｝^t＝Σｒt（ｎ）ｑ^n

m^2１＋２ｑ＋２ｑ^4＋２ｑ^9＋・・・，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

［補３］ｎが２４個の平方数の和として表されるとき，何通りの方法で２４個の平方数の和として表すことができるか？

　ｒ24（ｎ）は

　　θ（ｚ）^24＝ｓΔ（ｚ＋１／２）＋ｔΔ（２ｚ）＋ｕＥ12（ｚ）

から求めることができて，

　　ｒ24（ｎ）＝１６σ11（ｎ）／６９１−１２８｛５１２τ（ｎ／２）＋（−１）^n２５９τ（ｎ）｝／６９１

〜１６σ11（ｎ）／６９１

［補４］ｒ24（６）＝８６６２７７０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝