１８５９年，リューヴィルはｇ（４）≦５３を示しました．ｇ（４）＝１９ですからこの結果は実際とはかなり隔たりがあるのですが，ｇ（４）の限界を与える方法を初めて示したことになります．

［Ｑ］ｇ（４）≦５３であることを示せ．

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［Ａ］６（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

＝（ａ＋ｂ）^4＋（ａ−ｂ）^4＋（ｃ＋ｄ）^4＋（ｃ−ｄ）^4

＋（ａ＋ｃ）^4＋（ａ−ｃ）^4＋（ｂ＋ｄ）^4＋（ｂ−ｄ）^4

＋（ａ＋ｄ）^4＋（ａ−ｄ）^4＋（ｂ＋ｃ）^4＋（ｂ−ｃ）^4

任意の整数ｍはａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2の形に表されるから，６ｍ^2は１２個の４乗数の和として表すことができる．

任意の整数はｎ＝６ｑ＋ｒ，０≦ｒ≦５という形に表される．

６ｑは４８個の４乗数の和として表すことができる．

ｒはｒ＝５のとき，５＝１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4であるから，ｇ（４）≦５３

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