ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａ

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝ｃ

の四面体の体積は，１４４Ｖ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2−ｃ^2）

　＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

　＋ａ^4（−ａ^2＋ｃ^2）

で与えられる．

　かつ，この四面体が正三角柱状空間充填四面体となるための条件は

　　ｃ^2＝３（ｂ^2−ａ^2）

であるから，ａ^2＝１として，

１４４Ｖ^2＝ｃ^2（１−ｃ^2）＋ｂ^4（３−２ｂ^2＋ｃ^2）＋（−１＋ｃ^2）

＝−（ｃ^2−１）^2＋ｂ^4（３−２ｂ^2＋ｃ^2）

［１］ｃ^2＝１を保って，ｂ^2を変化させる．

１４４Ｖ^2＝ｂ^4（４−２ｂ^2）

ｂ^2＝２のとき，Ｖ^2＝０

これがサマーヴィルの等面四面体のコラプスである．

［２］ｂ^2＝２を保って，ｃ^2を変化させる．

１４４Ｖ^2＝−（ｃ^2−１）^2＋４（ｃ^2−１）

＝（ｃ^2−１）（−ｃ^2＋１＋４）＝０

ｃ^2＝１のとき，Ｖ^2＝０，これがヒルの直角四面体のコラプスである．

ｃ^2＝５のとき，Ｖ^2＝０であるが，これはあり得ない．

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