［補１］ｎ＝２^a３^b５^c・・・ｐ^tが２つの平方数の和で表されるための必要十分条件はすべての４ｋ＋３型素数の指数が偶数であることである．

　（４ｋ＋１）^2＝１６ｋ^2＋８ｋ＋１＝４(４ｋ^2＋２ｋ）＋１

　（４ｋ＋３）^2＝１６ｋ^2＋２４ｋ＋９＝４(４ｋ^2＋６ｋ＋２）＋１

すなわち，４ｋ＋１型素数の平方は４ｋ＋１型，４ｋ＋３型素数の平方は４ｋ＋１型である．

［補２］□＋□＋□≠７　（ｍｏｄ８）

ｎ^2　（ｍｏｄ８）に０〜７を代入すると

０，１，４，１，０，１，４，１，すなわち，□＝０，１，４　（ｍｏｄ８）

□＋□＋□＝０，１，２，３，４，５，６

したがって，

　　　□＋□＋□≠７　（ｍｏｄ８）

［補３］ｋ^2＝（ｍ−ｋ）^2　（ｍｏｄｍ）より，０〜ｍ−１までの整数を平方する必要はなく，０〜（ｍ−１）／２までの整数を平方すればよい．たとえば，ｍ＝３１の場合は１５まで，

→１，４，９，１６，２５，５，１８，２，１９，７，２８，２０，１４，１０，８

［補４］３立方数≠４　（ｍｏｄ９）

ｎ^3　（ｍｏｄ９）に０〜８を代入すると

０，１，８，０，１，８，０，１，８すなわち，□＝０，１，８　（ｍｏｄ９）

３立方数≠４

［補５］１４・４乗数≠１５　（ｍｏｄ１６）

　ｎ^4　（ｍｏｄ１６）＝０，１→１４・４乗数≠１５　（ｍｏｄ１６）

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