■サマーヴィルの等面四面体(その912)

AB=BC=CD=a

AC=BD=b

AD=c

の四面体の体積は,144V^2

=a^2c^2(a^2−c^2)

 +b^4(3a^2−2b^2+c^2)

 +a^4(−a^2+c^2)

=−a^2(c^2−a^2)^2+b^4(3a^2−2b^2+c^2)

で与えられる.

 正三角柱状空間充填四面体は

  c^2=3(b^2−a^2)

  a^2=e^2+c^2/9

  b^2=e^2+4c^2/9

を満たす.

 三角柱の大きさを一定(e^2=1)として,空間充填四面体の体積が0に成る場合を求めてみたい.

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144V^2=−a^2(c^2−a^2)^2+b^4(3a^2−2b^2+c^2)

a^2=1+c^2/9

b^2=1+4c^2/9

を代入すると,

144V^2=−(1+c^2/9)(1−8c^2/9)^2+(1+4c^2/9)^3

Ω=9^3・144V^2

=−(9+c^2)(9−8c^2)^2+(9+4c^2)^3

=−(9+C)(9−8C)^2+(9+4C)^3,C=c^2

=−(64C^3+432C^2−1215C+729)+(64C^3+432C^2+972C+729)

=2187C

C=0,a=e,b=e

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[雑感]collapsoble structureを考える上で意味のある解は得られない.

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