■サマーヴィルの等面四面体(その912)
AB=BC=CD=a
AC=BD=b
AD=c
の四面体の体積は,144V^2
=a^2c^2(a^2−c^2)
+b^4(3a^2−2b^2+c^2)
+a^4(−a^2+c^2)
=−a^2(c^2−a^2)^2+b^4(3a^2−2b^2+c^2)
で与えられる.
正三角柱状空間充填四面体は
c^2=3(b^2−a^2)
a^2=e^2+c^2/9
b^2=e^2+4c^2/9
を満たす.
三角柱の大きさを一定(e^2=1)として,空間充填四面体の体積が0に成る場合を求めてみたい.
===================================
144V^2=−a^2(c^2−a^2)^2+b^4(3a^2−2b^2+c^2)
a^2=1+c^2/9
b^2=1+4c^2/9
を代入すると,
144V^2=−(1+c^2/9)(1−8c^2/9)^2+(1+4c^2/9)^3
Ω=9^3・144V^2
=−(9+c^2)(9−8c^2)^2+(9+4c^2)^3
=−(9+C)(9−8C)^2+(9+4C)^3,C=c^2
=−(64C^3+432C^2−1215C+729)+(64C^3+432C^2+972C+729)
=2187C
C=0,a=e,b=e
===================================
[雑感]collapsoble structureを考える上で意味のある解は得られない.
===================================