帰納法的に

（ａ2−βａ1）＝Ｆ2k−βＦk＝αＦk

（ａ2−αａ1）＝Ｆ2k−αＦk＝βＦk

であることが示せればよいのであるが，

［４］Ｆ3n＝０　　（ｍｏｄ２）

　　　Ｆ4n＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　Ｆ5n＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　Ｆ6n＝０　　（ｍｏｄ８）

　　　Ｆ7n＝０　　（ｍｏｄ１３）

すなわち，フィボナッチ数はｎ個おきに，Ｆnの倍数になる．

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ｋ＝１のとき，Ｆ1＝１，Ｆ2＝１

（ａ2−βａ1）＝１−（１−√５）／２＝α

（ａ2−αａ1）＝１−（１＋√５）／２＝β

α−β＝√５

ｋ＝２のとき，Ｆ2＝１，Ｆ4＝３

（ａ2−βａ1）＝３−（３−√５）／２＝α

（ａ2−αａ1）＝３−（３＋√５）／２＝β

α−β＝√５

ｋ＝３のとき，Ｆ3＝２，Ｆ6＝８

（ａ2−βａ1）＝８−２（２−√５）＝２α

（ａ2−αａ1）＝８−２（２＋√５）＝２β

α−β＝２√５

ｋ＝４のとき，Ｆ4＝３，Ｆ8＝２１

（ａ2−βａ1）＝２１−３（７−３√５）／２＝３α

（ａ2−αａ1）＝２１−３（７＋３√５）／２＝３β

α−β＝３√５

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