【３】ラマヌジャン数（保型形式論の端緒）

　保型形式が最初に現れたのは，１７５０年のオイラーによる五角数定理

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))　　　m(3m-1)/2は五角数

ですが，ヤコビの公式（もうひとつの三角数定理？：１８２９年）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　(m^2+m)/2は三角数

を経て，ラマヌジャンの保型形式論の時代に突入します．

　ラマヌジャンは，

　　Δ(z)＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n

　　　　　 ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)

を考え，その係数τ(n)を計算しました．

　　τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,･･･

　ここでも，無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式

　　Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式の拡張（２４乗版）と考えられます．

　τ(n)はオイラーの分割数のアナローグであり，ラマヌジャン数と呼ばれます．この数は驚くような性質をもっています．

　また，ラマヌジャンは保型形式を用いて，たとえば，

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

　　Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)

を証明しています．ここで，πとωはそれぞれ，

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

です．

　これらの等式は，積分表示

　　ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx

の離散化とみることができますが，この式はコラム「プランク分布と量子化の概念」で紹介したプランク分布（Bose-Einstein統計）そのものです．

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