■フルビッツのゼータ関数(その5)

  [参]黒川信重「零点問題集」現代数学社

もよれば,(その4)の問題(ラマヌジャン予想)

  |τ(p)|≦2p^11/2

は零点問題の形

  Re(s)=11/2

で書くことができるという.

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 1−τ(p)p^-s+p^11-2s=(1−αp^-s)(1−βp^-s)

と分解したとき

  α+β=τ(p),αβ=p^11

 ここで,

  |p^s|=|α|=|β|=p^11/2

|τ(p)|=|α+β|≦|α|+|β|=2p^11/2

なお,

  1−τ(p)p^-s+p^11-2s=0ならば

  (p^s)^2−τ(p)p^s+p^11=0

p^s={τ(p)±i(4p^11−τ^2(p)}/2

  |p^s|=p^11/2→Re(s)=11/2

 ドリーニュは巨人グロタンディークの肩に乗って,解決に至ったのである.

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