［１］複素数関数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘの零点はすべて実数である．

［２］複素数関数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘの零点はすべて超越数である．

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［Ｑ］複素数関数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘの零点はすべて超越数であることを証明せよ．

［Ａ］ｃｏｓ（α）＝０となる代数的数α（≠０）が存在したとする．このとき

ｃｏｓ（α）＝｛ｅｘｐ（ｉα）＋ｅｘｐ（−ｉα）｝／２

したがって，ｅｘｐ（ｉα）は代数的数（±ｉ）になるが，これはリンデマンの定理（１８８２年）

「αが零でない代数的数ならばｅｘｐαは超越数」に矛盾する．

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