コラム「サマーヴィルの等面四面体」では

もしｎθ→αであれば，θ→α／ｎ

　ｔａｎθ＝θ＋θ^3／３＋２θ^5／１５＋１７ｎθ^7／３１５＋・・・

→α／ｎ＋（α／ｎ）^3／３＋２（α／ｎ）^5／１５＋１７（α／）^7／３１５＋・・・

ｎ→∞のとき，

　ｎｔａｎθ→α

　ｔａｎ（α）＝αとなるα［π，３π／２］を数値計算で求める問題となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　計算結果は

　α＝４．４９３４１

　ξ＝５１４．９０７°となった．

　ｙ＝ｔａｎｘとｙ＝ｘのグラフを描けば，交点が無限個存在することは一目瞭然である．さらの０以外の交点は区間［ｋπ,（ｋ＋１／２）π］に１個ずつ存在しそれに尽きることもわかるだろう．それでは，複素数関数を考える．

［１］複素数関数ｆ（ｘ）＝ｔａｎｘ−ｘの零点はすべて実数であり，無限個存在する．

［２］複素数関数ｆ（ｘ）＝ｔａｎｘ−ｘの零点は０以外はすべて超越数である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］複素数関数ｆ（ｘ）＝ｔａｎｘ−ｘの零点は０以外はすべて超越数であることを証明せよ．

［Ａ］ｔａｎ（α）＝αとなる代数的数α（≠０）が存在したとする．このとき

ｔａｎ（α）＝１／ｉ・｛ｅｘｐ（ｉα）−ｅｘｐ（−ｉα）｝／｛ｅｘｐ（ｉα）＋ｅｘｐ（−ｉα）｝＝αより，

｛ｅｘｐ（ｉα）−ｅｘｐ（−ｉα）｝／｛ｅｘｐ（ｉα）＋ｅｘｐ（−ｉα）｝

＝ｉα

したがって，ｅｘｐ（ｉα）は代数的数になるが，これはリンデマンの定理（１８８２年）

「αが零でない代数的数ならばｅｘｐαは超越数」に矛盾する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝