ボンベリは，カルダノによる３次方程式の解法を

　　ｘ^3−１５ｘ−４＝０

に適用すると

　　４＝3√（２＋１１ｉ）＋3√（２−１１ｉ）

という実数＝複素数？という奇妙な関係式が成り立つことに気づいた．

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　実は

　（２＋ｉ）^3＝２＋１１ｉ，（２−ｉ）^3＝２−１１ｉ

という簡単な関係式が成り立つので，３乗根を外せば

　　４＝（２＋ｉ）＋（２−ｉ）

が成り立つのである．

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　２５は平方数で２７は立方数である．言い換えれば，２６から１をひくと２５（平方数）であり，２６に１を加えると２７（立方数）である．このように平方数と立方数に挟まれる数は他にはないというのが，

　　ｙ^3＝ｘ^2＋２

の正整数による唯一の解は（ｘ，ｙ）＝（５，３）であるというフェルマーの主張であった．

　これを仮想的な整数を導入して，以下のような証明を与えたのはオイラーである．

（証）ｘ^2＋２＝（ｘ＋ｉ√２）（ｘ−ｉ√２）

（ｘ＋ｉ√２）＝（ａ＋ｂｉ√２）^3

＝ａ^3＋３ａ^2ｂｉ√２−６ａｂ^2−２ｂ^3ｉ√２

＝（ａ^3−６ａｂ^2）＋（３ａ^2ｂ−２ｂ^3）ｉ√２

＝ａ（ａ^2−６ｂ^2）＋ｂ（３ａ^2−２ｂ^2）ｉ√２

（ｘ＋ｉ√２）→ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝ｘ，ｂ（３ａ^2−２ｂ^2）＝１

ｂ＝±１とすると，（３ａ^2−２）＝±１→ｂ＝１のときａ＝±１

（１，１）→ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝−５＝ｘ　　　（ＮＧ）

（−１，１）→−ａ（ａ^2−６ｂ^2）＝５＝ｘ　　（ＯＫ）

さらにｙ＝３．よって，フェルマーの主張が示された．

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