【３】ディラック行列

　パウリの行列において

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｒ^2

は３次元空間での球に相当するわけですが，歴史的にはパウリが基本粒子のスピンを数学的に表現するために考案したものです．この考えがヒントになって，ディラックが４次元時空における時間の項を加えた

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2

を因数分解するために「ディラック行列」を使いました．

　　αx＝［０，０，０，１］　　αy＝［０，　０，０，−ｉ］

　　　 　［０，０，１，０］　　　 　［０，　０，ｉ，　０］

　　　 　［０，１，０，０］　　　 　［０，−ｉ，０，　０］

　　　 　［１，０，０，０］　　　 　［ｉ，　０，０，　０］

　　αz＝［０，　０，１，　０］　　β＝［１，０，　０，　０］

　　　 　［０，　０，０，−１］　　　　［０，１，　０，　０］

　　　 　［１，　０，０，　０］　　　　［０，０，−１，　０］

　　　 　［０，−１，０，　０］　　　　［０，０，　０，−１］

　これらの４組の２×２行列をディラック行列と呼ぶのですが，（その２６）と同様に，

　　ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ

　＝［　ｔ，　　０，　　ｚ，　ｘ−ｙｉ］

　　［　０，　　ｔ，　ｘ＋ｙｉ，−ｚ　］

　　［　ｚ，　ｘ−ｙｉ，−ｔ，　０　　］

　　［ｘ＋ｙｉ，−ｚ　，０，　　−ｔ　］

　　（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2

　＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０，０］

　　［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０］

　　［０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０］

　　［０，０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2］

　＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅ

という関係が確かめられます．これで，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅという行列は，（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2に分解できることがわかりました．

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